请教欧拉不等式R>=2r的证明方法

首先，对正数x、y、z恒有（x+y）（y+z）（z+x）》8xyz
其次在三角形中，设三边为a、b、c，面积为S，半周长为p，外接圆半径为R，内切圆半径为r，
则有公式 R =（abc）/（4S），
r =（2S）/p，
S^2=p（p-a）（p-b）（p-c）
对三角形三边a、b、c可换元，
设a=y+z，b=z+x，c=x+y，x、y、z为正数，
则R》2r等价于abcp》8S^2，
即abc》8（p-a）（p-b）（p-c）,
也即（x+y）（y+z）（z+x）》8xyz,证毕.

有一个简单的证法
设三角形ABC的三边长分别为a,b,c,面积为S,三边上的高为ha,hb,hc,外接圆圆心为O，且O到三边的距离为ra,rb,rc,则有OA+ra>=ha,即R+ra>=ha,两边同时乘以正数a有aR+ara>=aha,同理科有其他两个式子，三式相加有R(a+b+c)+(ara+brb+crc)>=6S,注意到ara+brb+crc=2S,化简即得。
祝学习愉快！~！